Denken wird oft mit logischem Denken gleichgesetzt. Logisches Denken ist ein wichtiger Bestandteil, keine Frage, doch Denken beinhaltet weit mehr. Dennoch kann es spannend sein sich zu verdeutlichen, was eigentlich mit einer logischen Aufgabe gemeint ist, schon allein, um diese mit anderen Aufgabenformen zu vergleichen. Ein Sudoku ist dabei eine anschauliche Möglichkeit darzustellen, was unter einer logischen Aufgabe verstanden werden kann (Ich benutze an dieser Stelle die Möglichkeitsform, denn innerhalb der Logik gibt es viele Felder und Fragestellungen, die nicht alle mit diesem Beispiel abgedeckt werden können. Genau genommen handelt es sich hier um eine Form logischen Denkens, nicht um die Logik schlechthin. Dennoch ist sie hilfreich, um einige Grundprinzipien zu verdeutlichen.)
In den meisten Zeitschriften und Büchern finden sich Sudokus mit 9 x 9 Feldern, für die Fortgeschrittenen gibt es Varianten mit 16 Feldern oder sogar als 3D-Aufgabe in Würfelform, doch für den Zweck einer Erläuterung des zugrunde liegenden Prinzips reicht ein Quadrat mit 4 x 4 Feldern völlig aus.
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Um ein Sudoku lösen zu können, bedarf es zunächst einiger Regeln:
- Einige Zahlen sind vorgeben.
- In die Kästchen werden (in diesem Fall) die Zahlen von 1 bis 4 eingetragen.
- In jeder Zeile, in jeder Spalte, und in jedem Unterkästchen können die Zahlen 1 bis 4 jeweils nur einmal vorkommen.
- Ziel ist es, unter der Beachtung der Regeln 1 bis 3 alle Kästchen auszufüllen.
Es gibt auch Aufgaben, bei denen keine Zahlen vorgegeben sind und die eine ähnliche Aufgabenstellung beinhalten ("Fülle die Kästchen mit den Zahlen von 1 bis 4 und zwar so, dass jede Zahl in jeder Reihe, jeder Spalte und jedem Unterkästchen nur einmal vorkommt"). Zur Lösung einer solchen Aufgabe müssten zum Teil ähnliche, zum Teil andere Strategien angewandt werden und es gäbe eine Vielzahl von Lösungen. Vor allem wäre es kein Sudoku.
Hier werden schon einige Punkte deutlich, die logisches Denken und Vorgehen kennzeichnen:
Es muss ein Rahmen definiert sein, für den mein Vorgehen gültig sein soll, als auch ein konkret formuliertes Ziel als Ergebnis meines Vorgehens. In diesem Fall ist der Rahmen die Definition des Spiels "Sudoku" mit dem Ziel, alle Kästchen wie oben beschrieben zu füllen. Das Erreichen des Ziels ist nur legitim unter Anwendung vorher festgelegter Regeln, wobei diese Regeln eng mit dem Situationsrahmen und dem Ziel verknüpft sind (anderes Spiel => anderes Ziel => andere Regeln). Weder das Ziel noch die zu seiner Erreichung zugelassenen Mittel dürfen hierbei in Frage gestellt werden. Logisches Denken bezieht sich auf eine konkrete Fragestellung, ist regelleitet und wird durch einen definierten Kontext bestimmt.
Um Regeln anwenden zu können, sind "Wenn-Dann"-Beziehungen notwendig, woraus sich bestimmte Schlüsse ziehen lassen. Hierbei gibt es zwei Möglichkeiten:
Ich benenne eine Situation und lege fest, was ich tue, wenn diese Situation eintritt: "Wenn es regnet, dann nehme ich meinen Schirm mit."
Ich benenne eine Situation und lege fest, was ich nicht tue, wenn diese Situation eintritt: "Wenn mir übel ist, esse ich keine Schokolade."
Somit gibt es bestimmte Bedingungen, aus denen Handlungen abgeleitet werden können. Für ein Sudoku bedeutet das, dass ich auf Grund der vorliegenden Bedingungen entweder zu dem Schluss komme, dass eine Zahl in ein bestimmtes Feld eingetragen werden muss oder dass sie auf Grund der Bedingungen nicht eingetragen werden darf. Letztlich lässt sich ein Sudoku somit als eine Kette von "Wenn-Dann"-Beziehungen und Schlussfolgerungen verstehen. Hierzu ein Beispiel:
In dem linken oberen Unterkästchen ist eine 4 eingetragen, nun stellt sich die Frage, wie die Zahlen 1 bis 3 in das Unterkästchen anzuordnen sind. Da in der zweiten Zeile eine 2 steht, ergeben sich hieraus fogende Wenn-Dann-Beziehungen:
Wenn in der zweiten Reihe eine 2 steht, kann dort nicht noch einmal eine 2 verwendet werden, also schließe ich diese Möglichkeiten aus.
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3 |
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Wenn in jedem Unterkästchen die Zahlen 1 bis 4 eingetragen werden müssen und ich bestimmte Zellen ausschließe, dann kann die 2 nur neben der 4 stehen (Vorgehen 1).
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3 |
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Da die 1 schon in der ersten Spalte vorhanden ist, kann sie dort nicht wieder auftauchen. Also muss sie in die zweite Spalte. Für die 3 bleibt dann das Kästchen daneben und das erste Unterkästchen ist gefüllt. Auf die gleiche Art lässt sich das gesamte Sudoku lösen. Wichtig ist hierbei jedoch, nur dann eine Zahl einzutragen, wenn es sich aus den Bedingungen schließen lässt, dass sie dort hingehören muss und es keine Möglichkeit gibt, eine andere Zahl einzutragen.
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2! |
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3 |
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Hierbei werden weitere Punkte logischen Denkens deutlich:
Zwar gibt es in diesem Bespiel mehrere Möglichkeiten, mit dem Lösen des Sudokus zu beginnen, dennoch ist der Anfang nicht beliebig. Ich kann meinen Einstieg also nicht völlig frei wählen, vielmehr ist er durch die vorliegenden Bedingungen zumindest zum Teil vorgegeben. (Mit zunehmender Schwierigkeit der Sudokus nimmt in der Regel die Anzahl der Anfangsmöglichkeiten ab, so dass es immer wichtiger wird, den ‚richtigen' Einstieg zu finden). Da die einzelnen Lösungsschritte aufeinander aufbauen, ist es notwendig, eine gewisse Reihenfolge einzuhalten, bestimmte Teile des Rätsels können erst gelöst werden, wenn andere schon als gesichert gelten: In dem obigen Beispiel kann ich die Position der 3 erst bestimmen, nachdem die Position von 1 und 2 bekannt ist. Auch hier gilt: Je schwieriger ein Sudoku, desto mehr ist es von Bedeutung, den ‚richtigen' nächsten Schritt zu finden, da die Zahl der Alternativen immer weiter abnimmt. Logisches Denken geschieht also nicht nur regelgeleitet innerhalb eines festgelegten Rahmens, es erzwingt auch eine gewisse Reihenfolge in der Abarbeitung der auf dem Weg sich ergebenden Teilaufgaben. Diese Reihenfolge lässt sich nur wenig bis gar nicht beeinflussen. Mit dem Erreichen des zuvor definierten Zieles ist die Aufgabe gelöst und der Prozess beendet. Das Ergebnis ist hierbei eindeutig, d. h. Teilergebnisse sind entweder richtig oder falsch und es gibt in der Regel auch nur eine richtige Lösung. (Ich habe erst einmal erlebt, dass ein Sudoku zwei richtige Lösungen hatte und dies wurde auch erst im vorletzten Schritt deutlich.)
Die Reihenfolge der Lösungsschritte ist durch die Struktur der Aufgabe zum Teil vorgegeben, dennoch ist es oft möglich, unterschiedliche Strategien zu entwickeln, um zum nächsten möglichen Lösungsschritt zu gelangen. Ich kann ein Sudoku systematisch spalten-, zeilen- oder kästchenweise prüfen. Ich kann nach Bereichen Ausschau halten, in denen möglichst viele Zahlen schon vorhanden sind, und dann prüfen, welche noch fehlen. Gerade bei großen Sudokus kann ich eine Zahl weiterverfolgen: Wenn ich z. B. eine 4 einsetzen kann, kann ich von hier aus weitergehen und prüfen, inwieweit die Positionen anderer 4en hierdurch eindeutig bestimmt sind. Meist ist es einfacher, Zahlen auszuschließen als zu beweisen, dass sie dort hingehören. In vielen Fällen lassen sich so Möglichkeiten ausschließen, so dass am Ende nur eine Zahl übrigbleibt, die dann als Ergebnis eingetragen werden kann.
Für alle, die sich selbst als hoffnungslosen Antilogiker-Fall bezeichnen, lässt sich am Beispiel des Lösens von Sudokus doch etwas Anderes aufzeigen: Logisches Denken ist lern- und trainierbar! :-)